O nierówności iloczynów kolejnych liczb naturalnych

 Stare zadanie z olimpiady matematycznej: 

Udowodnić, że zbioru ({ n + i : i < 6 }) nie da się podzielić na dwa podzbiory o równych iloczynach dla żadnej liczby naturalnej (n).

To zadanie ma sprytne rozwiązanie, opierające się na podzielności, ale zastanówmy się, czy możemy je przełamać w prostszy sposób, korzystając z 🖳a 😉

Otóż dwa podzbiory mają równe iloczyny, jeśli różnica między tymi iloczynami jest (0).  Dla każdego podzbioru różnica ta będzie wielomianem (P(n)), przy czym wyraz wolny (P(0)) będzie zawsze dzielnikiem liczby (120).  Mamy więc (P(n) = 0 ⇒ n | P(0)).

Wystarczy więc sprawdzić wszystkie dzielniki (n) wyrazów wolnych (P(0)) dla wszystkich podziałów zbioru (6), aby upewnić się, że iloczyny podzbiorów nie są równe.  Wszystkich podziałów zbioru (6) będzie (2⁵), a wszystkich dzielników liczby (120) będzie (4 · 2 · 2), więc jak najbardziej da się to obliczyć przez wyczerpanie wszystkich przypadków 🔃