Przygody ze wszystkim

4 π 7 \ · sin · π 2 · 7 \ · sin · π 3 · 7 \ · sin · π 2 · 7 \ · sin π 3 · 7 \ · sin + π 7 \ · sin − + = π 2 · 7 \ · sin π 3 · 7 \ · sin · π 7 \ · sin π 2 · 7 \ · sin π 3 · 7 \ · sin + · = π 3 · 7 \ · sin · π 2 · 7 \ · sin π 3 · 7 \ · sin + π 7 \ · sin − + 2 ↑ π 7 \ · sin  2 ↑ π 2 · 7 \ · sin 2 ↑ + π 3 · 7 \ · sin 2 ↑ + = Dowód wynika z formuł zamiany iloczynu na sumę.

2 x  · sin 2 x  sin ·  x  cos · = x  sin x  2 1 − ↑ · sin \ · x  2 1 − ↑ · cos 2 1 − ↑ ·  = x  sin  x  2 2 − ↑ · sin \ ·  x  sin  x  2 1 − ↑ · sin \ · 2 1 − ↑ ·   x  2 1 − ↑ · sin ·  x  2 2 − ↑ · sin \ · 2 1 − ↑ · = x  sin  x  2 2 − ↑ · sin \ ·  x  2 1 − ↑ · cos  x  2 2 − ↑ · cos 2 2 − ↑ · x  sin  x  2 n − ↑ · sin \ · 1 n  …  x  2 k − ↑ · cos  k →! Π 2 n − ↑ · = x  sin  x  2  n  − ↑ · sin  2  n  − ↑ \ · \ ·  1  n  …  x  2  k  − ↑ · cos  k  →! = x  sin  x  2  n  − ↑ · sin  2  n  − ↑ \ · \ ·  x  sin x  \ ·  x  2  n  − ↑ · sin x 2  n  − ↑ · \ · \ · x  sin  x  \ · 1  ∞ ...