Przygody ze wszystkim

2 x  · sin 2 x  sin ·  x  cos · = x  sin x  2 1 − ↑ · sin \ · x  2 1 − ↑ · cos 2 1 − ↑ ·  = x  sin  x  2 2 − ↑ · sin \ ·  x  sin  x  2 1 − ↑ · sin \ · 2 1 − ↑ ·   x  2 1 − ↑ · sin ·  x  2 2 − ↑ · sin \ · 2 1 − ↑ · = x  sin  x  2 2 − ↑ · sin \ ·  x  2 1 − ↑ · cos  x  2 2 − ↑ · cos 2 2 − ↑ · x  sin  x  2 n − ↑ · sin \ · 1 n  …  x  2 k − ↑ · cos  k →! Π 2 n − ↑ · = x  sin  x  2  n  − ↑ · sin  2  n  − ↑ \ · \ ·  1  n  …  x  2  k  − ↑ · cos  k  →! = x  sin  x  2  n  − ↑ · sin  2  n  − ↑ \ · \ ·  x  sin x  \ ·  x  2  n  − ↑ · sin x 2  n  − ↑ · \ · \ · x  sin  x  \ · 1  ∞ ...

Jak rozwiązać równanie: ( x 3 + x = 30)? Wyrażenie (sin (3 · x )) jako wielomian 3. stopnia (sin (3 · x )) = (3 · sin ( x ) − 4 · sin ( x ) 3 ) Przykład: równanie (3 · x − 4 · x 3 = 1) (sin (3 · x ) = 1), obliczyć (sin ( x )) exp (− i · x ) − exp (i · x ) / 2 · i = 1) ( z − 1 / z = 2 · i) ( z 2 − 2 · i · z − 1 = 0) z = i 3 · x = (2 · k + 1 / 2) · π) ( x = k · π / 6 : k ∈ { 1, 5, 9 }) (sin (x) ∈ { 1 / 2, − 1 }) Sprawdzenie (3 / 2 − 4 · (1 / 2) 3 = 1) (− 3 − 4 · (− 1) 3 = 1) Przykład: równanie (3 · x − 4 · x 3 = − 26) (sin (3 · x ) = − 26), obliczyć (sin ( x )) ( z 2 + 52 · i · z − 1 = 0) (Δ = − 52 2 + 4) (Δ = 4 · (1 − 26 2 )) ( z ) = ((− 26 ± (26 2 − 1) 1 / 2 ) · i) ((− 26 + (26 2 − 1) 1 / 2 ) · (− 26 − (26 2 − 1) 1 / 2 )) = (1) (3 · i · x ) = (log (26 ± (26 2 − 1) 1 / 2 )) + (2 · k + 3 / 2) · π · i) (i · x ) = (log (26 ± (26 2 − 1) 1 / 2 )) / 3 + (2 · k + 1 / 2) · π · i) (sin ( x )) = (((26 + (26 2 − 1) 1 / 2 )) 1 / 3 + (26 − (26 2 − 1) 1 / 2 )) ...

 Aby obliczyć iloczyn ( P 1 · P 2 ) dwu wielomianów jednej zmiennej, wystarczy obliczyć ( P 1 ( M ) · P 2 ( M ) ) dla dostatecznie dużej liczby naturalnej ( M ).  Współczynniki iloczynu ( P 1  · P 2 ) można wtedy będzie odczytać z cyfr liczby ( P 1 ( M ) · P 2 ( M ) ) w rozwinięciu przy podstawie  ( M ). Przykład: (5  · x + 6)  · (7  · x + 8) =  (35  ·  x  2 +  82  ·  x  + 48) 5_006 * 7_008 == 35_082_048 Jeśli wszystkie współczynniki wielomianów ( P 1 ) i ( P 2 ) stopnia co najwyżej ( d ) szacują się przez ( K 1 ) i ( K 2 ), to wystarczy wziąć ( M ) ≥ ( d  ᐧ  K 1  ·  K 2 ).

 Stare zadanie z olimpiady matematycznej:  Udowodnić, że zbioru ( { n + i : i < 6 } ) nie da się podzielić na dwa podzbiory o równych iloczynach dla żadnej liczby naturalnej ( n ). To zadanie ma sprytne rozwiązanie, opierające się na podzielności, ale zastanówmy się, czy możemy je przełamać w prostszy sposób, korzystając z 🖳a 😉 Otóż dwa podzbiory mają równe iloczyny, jeśli różnica między tymi iloczynami jest ( 0 ).  Dla każdego podzbioru różnica ta będzie wielomianem ( P( n ) ), przy czym wyraz wolny ( P(0) ) będzie zawsze dzielnikiem liczby ( 120 ).  Mamy więc ( P( n ) = 0 ⇒ n | P(0) ). Wystarczy więc sprawdzić wszystkie dzielniki ( n ) wyrazów wolnych ( P(0) ) dla wszystkich podziałów zbioru ( 6 ), aby upewnić się, że iloczyny podzbiorów nie są równe.  Wszystkich podziałów zbioru (6) będzie ( 2 5 ), a wszystkich dzielników liczby (120) będzie (4 · 2 · 2), więc jak najbardziej da się to obliczyć przez wyczerpanie wszystkich przypadków 🔃

Obliczanie dzielnika Obliczanie dzielnika liczby naturalnej jest zwykle żmudne i niewdzięczne, gdyż trzeba sprawdzić, czy liczba dzieli się przez jedną z liczb pierwszych, których kwadrat jest mniejszy od danej liczby — a dzielenie przez duże liczby pierwsze jest czynnością nieprzyjemną.. Jest jednak dużo prostszy i ciekawszy sposób: 👉 Aby znaleźć dzielnik małej liczby naturalnej ( n ), znajdź pierwszą większą liczbę ( p 2 ) > ( n )w poniższej tabeli: p 2 P 4 1 9 2 25 6 49 30 121 210 169 2310 289 30030 … i tak dalej. Szukanym dzielnikiem będzie największy wspólny dzielnik liczby ( n ) i odpowiedniej liczby ( P ). ✔ Czemu nie uczymy tego w szkole? 🤔 Kod komputerowy Odpowiadające temu wyrażenie: n < 25 ? n < 9 ? n < 4 ? 1 : 2 : 6 : n < 169 ?  n < 49 ? 30 : n  < 121 ? 210 : 2310 : n < 289 ? 30030 : NaN