O równaniach 3. stopnia

Jak rozwiązać równanie: (x³ + x = 30)?

Wyrażenie (sin (3 · x)) jako wielomian 3. stopnia

(sin (3 · x)) = (3 · sin (x) − 4 · sin (x)³)

Przykład: równanie (3 · x − 4 · x³ = 1)

1. (sin (3 · x) = 1), obliczyć (sin (x))
2. exp (− i · x) − exp (i · x) / 2 · i = 1)
3. (z − 1 / z = 2 · i)
4. (z² − 2 · i · z − 1 = 0)
5. z = i
6. 3 · x = (2 · k + 1 / 2) · π)
7. (x = k · π / 6 : k ∈ { 1, 5, 9 })
8. (sin (x) ∈ { 1 / 2, − 1 })

Sprawdzenie

1. (3 / 2 − 4 · (1 / 2)³ = 1)
2. (− 3 − 4 · (− 1)³ = 1)

Przykład: równanie (3 · x − 4 · x³ = − 26)

1. (sin (3 · x) = − 26), obliczyć (sin (x))
2. (z² + 52 · i · z − 1 = 0)
3. (Δ = − 52² + 4)
4. (Δ = 4 · (1 − 26²))
5. (z) = ((− 26 ± (26² − 1)^{1 / 2}) · i)
6. ((− 26 + (26² − 1)^{1 / 2}) · (− 26 − (26² − 1)^{1 / 2})) = (1)
7. (3 · i · x) = (log (26 ± (26² − 1)^{1 / 2})) + (2 · k + 3 / 2) · π · i)
8. (i · x) = (log (26 ± (26² − 1)^{1 / 2})) / 3 + (2 · k + 1 / 2) · π · i)
9. (sin (x)) = (((26 + (26² − 1)^{1 / 2}))^{1 / 3} + (26 − (26² − 1)^{1 / 2}))^{1 / 3}) / 2)

Sprawdzenie

(function (R) { return (26 + R) ** (1 / 3) + (26 - R) ** (1 / 3) })
((26 ** 2 - 1) ** (1 / 2))
== 4

Przypadek ogólny (x³ + p · x = q)

Przyjmijmy, że rozwiązanie będzie postaci (x = (q / 2 + a)^{1 / 3} + (q / 2 − a)^{1 / 3}).

Wówczas (x³ = q + 3 · (q² / 4 − a²)^{1 / 3} · ((q / 2 + a)^{1 / 3} + (q / 2 − a)^{1 / 3})).

Musimy więc mieć (3 · (q² / 4 − a²)^{1 / 3} = − p), czyli (a = (q² / 4 + p³ / 27)^{1 / 2}).

Sprawdzenie

(function (a) { return (15 + a) ** (1 / 3) - (a - 15) ** (1 /3) })
((15 ** 2 + 1 / 27) ** (1 / 2))
== 3